Question

13．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左頂點為A，上下兩個頂點分別為B，C，若左焦點是△ABC的垂心，則橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．

Answer 1

分析 由橢圓的性質求得F₁，A，B和C點坐標，根據(jù)三角形垂心的性質可知：BF₁⊥AC，即${k}_{B{F}_{1}}$•k_AC=-1，根據(jù)斜率公式分別求得${k}_{B{F}_{1}}$和k_AC，求得a與bc的關系，根據(jù)橢圓離心率的性質即可求得e的值．

解答 解：設左焦點F₁（-c，0），A（-a，0），B（0，b），C（0，-b），
由左焦點是△ABC的垂心，
∴BF₁⊥AC，
∴${k}_{B{F}_{1}}$•k_AC=-1，
${k}_{B{F}_{1}}$=$\frac{0-b}{-c-0}$=$\frac{b}{c}$，k_AC=$\frac{-b-0}{0+a}$=-$\frac{b}{a}$
∴$\frac{b}{c}$•（-$\frac{b}{a}$）=-1，整理得：b²=ac，
由橢圓的性質可知：a²=b²+c²，整理得：c²+ac-a²=0，同除以a²可知
∴e²+e-1=0，解得：e=$\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$，
∵0＜e＜1，
∴e=$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，
故答案為：$\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單性質，三角形垂心的性質，斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．