Question

8．在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數，就稱點（x，y）為整點，下列命題中正確的是①③⑤（寫出所有正確命題的編號）．
①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經過任何整點
②如果k與b都是無理數，則直線y=kx+b不經過任何整點
③直線l經過無窮多個整點，當且僅當l經過兩個不同的整點
④直線y=kx+b經過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數
⑤存在恰經過一個整點的直線．

Answer 1

分析 舉例說明命題①⑤是真命題；舉反例說明命題②是假命題；假設直線l過兩個不同的整點，設直線l為y=kx，把兩整點的坐標代入直線l的方程，兩式相減得到兩整點的橫縱坐標之差的那個點也為整點且在直線l上，利用同樣的方法，得到直線l經過無窮多個整點，得到命題③為真命題；當k，b都為有理數時，y=kx+b可能不經過整點，例如k=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{3}$，說明④是假命題．

解答 解：①令y=x+$\frac{1}{2}$，既不與坐標軸平行又不經過任何整點，命題①正確；
②若k=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，則直線y=$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$經過（-1，0），命題②錯誤；
③設y=kx為過原點的直線，若此直線l過不同的整點（x₁，y₁）和（x₂，y₂），
把兩點代入直線l方程得：y₁=kx₁，y₂=kx₂，
兩式相減得：y₁-y₂=k（x₁-x₂），
則（x₁-x₂，y₁-y₂）也在直線y=kx上且為整點，
通過這種方法得到直線l經過無窮多個整點，則③正確；
④當k，b都為有理數時，y=kx+b可能不經過整點，例如k=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{3}$，故④不正確；
⑤令直線y=$\sqrt{2}$x恰經過整點（0，0），命題⑤正確．
綜上，命題正確的序號有：①③⑤．
故答案為：①③⑤．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，說明一個命題為假命題，只需舉一反例即可，要說明一個命題是真命題必須經過嚴格的說理證明，考查學生對題中新定義的理解能力，是中檔題．