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8.在平面直角坐標系中,如果x與y都是整數,就稱點(x,y)為整點,下列命題中正確的是①③⑤(寫出所有正確命題的編號).
①存在這樣的直線,既不與坐標軸平行又不經過任何整點
②如果k與b都是無理數,則直線y=kx+b不經過任何整點
③直線l經過無窮多個整點,當且僅當l經過兩個不同的整點
④直線y=kx+b經過無窮多個整點的充分必要條件是:k與b都是有理數
⑤存在恰經過一個整點的直線.

分析 舉例說明命題①⑤是真命題;舉反例說明命題②是假命題;假設直線l過兩個不同的整點,設直線l為y=kx,把兩整點的坐標代入直線l的方程,兩式相減得到兩整點的橫縱坐標之差的那個點也為整點且在直線l上,利用同樣的方法,得到直線l經過無窮多個整點,得到命題③為真命題;當k,b都為有理數時,y=kx+b可能不經過整點,例如k=$\frac{1}{2}$,b=$\frac{1}{3}$,說明④是假命題.

解答 解:①令y=x+$\frac{1}{2}$,既不與坐標軸平行又不經過任何整點,命題①正確;
②若k=$\sqrt{2}$,b=$\sqrt{2}$,則直線y=$\sqrt{2}$x+$\sqrt{2}$經過(-1,0),命題②錯誤;
③設y=kx為過原點的直線,若此直線l過不同的整點(x1,y1)和(x2,y2),
把兩點代入直線l方程得:y1=kx1,y2=kx2
兩式相減得:y1-y2=k(x1-x2),
則(x1-x2,y1-y2)也在直線y=kx上且為整點,
通過這種方法得到直線l經過無窮多個整點,則③正確;
④當k,b都為有理數時,y=kx+b可能不經過整點,例如k=$\frac{1}{2}$,b=$\frac{1}{3}$,故④不正確;
⑤令直線y=$\sqrt{2}$x恰經過整點(0,0),命題⑤正確.
綜上,命題正確的序號有:①③⑤.
故答案為:①③⑤.

點評 本題考查命題的真假判斷與應用,說明一個命題為假命題,只需舉一反例即可,要說明一個命題是真命題必須經過嚴格的說理證明,考查學生對題中新定義的理解能力,是中檔題.

練習冊系列答案
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