Question

16．（文科）已知函數f（x）=$\frac{ax+1}{x+2}$，
（1）當a=3，x∈[-5，-3]時，求f（x）的取值范圍；
（2）若函數f（x）在區間（-2，+∞）是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=3時，化簡f（x），利用函數f（x）在區間[-5，-3]上的單調性即可求出f（x）的取值范圍；
（2）利用分離常數法化簡函數f（x），根據f（x）的單調性即可求出a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=3時，f（x）=$\frac{3x+1}{x+2}$=3-$\frac{5}{x+2}$，
所以x∈[-5，-3]時，函數f（x）=3-$\frac{5}{x+2}$單調遞增；
且f（-5）=3-$\frac{5}{-5+2}$=$\frac{14}{3}$，f（-3）=3-$\frac{5}{-3+2}$=8，
所以x∈[-5，-3]時，f（x）的取值范圍是[$\frac{14}{3}$，8]；
（2）因為函數f（x）=$\frac{ax+1}{x+2}$=$\frac{a（x+2）+1-2a}{x+2}$=a+$\frac{1-2a}{x+2}$，
當函數f（x）在區間（-2，+∞）是增函數時，
1-2a＜0，解得a＞$\frac{1}{2}$，
所以實數a的取值范圍是a＞$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了利用分離常數法化簡函數解析式與求函數的單調性問題，是基礎題目．