Question

在△ABC中，tan

A+B

2

=2sinC，若AB=1，求△ABC周長的取值范圍（　　）

• A、（2，3]
• B、[1，3]
• C、（0，2]
• D、（2，5]

Answer 1

考點：正弦定理,兩角和與差的正切函數

專題：解三角形

分析：利用三角形的三角和為π及三角函數的誘導公式化簡已知的等式，利用三角形中內角的范圍，求出∠C的大小，三角形的正弦定理將邊BC，CA用角A的三角函數表示，利用兩角差的正弦公式展開，再利用三角函數中的公式
asinα+bcosα=

a2+b2

sin（α+θ）將三角形的周長化簡成y=Asin（ωx+φ）+k形式，利用三角函數的有界性求出△ABC周長的取值范圍．

解答： 解：由tan

A+B

2

=2sinC及

A+B

2

=

π

2

-

C

2

，得cot

C

2

=2sinC，
∴

cos C 2

sin C 2

=4sin

C

2

cos

C

2

∵0＜

C

2

＜

π

2

，cos

C

2

＞0，sin

C

2

＞0，
∴sin²

C

2

=

1

4

，sin

C

2

=

1

2

，

C

2

=

π

6

，C=

π

3

．
∴C=

π

3

由正弦定理，得

AB

sinC

=

BC

sinA

=

CA

sinB

=

2 3

3

，
△ABC的周長y=AB+BC+CA=1+

2 3

3

sinA+

2 3

3

sin（

2π

3

-A）
=1+

2 3

3

（

3

2

sinA+

3

2

cosA）
=1+2sin（A+

π

6

），
∵

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，
所以，△ABC周長的取值范圍是（2，3]，
故選：A．

點評：解決三角函數的取值范圍問題一般利用三角函數的誘導公式、兩個角的和、差公式、倍角公式以及公式asinα+bcosα=

a2+b2

sin（α+θ）將三角函數化為y=Asin（ωx+φ）+k形式．