Question

17．已知動直線l的方程：cosα•（x-2）+sinα•（y+1）=1（α∈R），給出如下結論：
①動直線l恒過某一定點；
②存在不同的實數α₁，α₂，使相應的直線l₁，l₂平行；
③坐標平面上至少存在兩個點都不在動直線l上；
④動直線l可表示坐標平面上除x=2，y=-1之外的所有直線；
⑤動直線l可表示坐標平面上的所有直線；
其中正確結論的序號是②③．

Answer 1

分析 ①，圓（x-2）²+（y+1）²=1上任一點P（2+cosα，-1+sinα），則點P處的切線為cosα•（x-2）+sinα•（y+1）=1（α∈R）；
②，當≠0時，直線的斜率k=-$\frac{cosα}{sinα}=-cotα$，存在不同的實數α₁，α₁，使cotα₁=cotα₁，相應的直線l₁，l₂平行；
③，cosα•（x-2）+sinα•（y+1）=1⇒$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}}sin（α+θ）=1$，所有使$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}}＜1$的點（x，y）都不在其上；
對于④，⑤由③可判定．

解答 解：對于①，圓（x-2）²+（y+1）²=1上任一點P（2+cosα，-1+sinα），則點P處的切線為cosα•（x-2）+sinα•（y+1）=1（α∈R），直線不會過一定點，故錯；
對于②，當≠0時，直線的斜率k=-$\frac{cosα}{sinα}=-cotα$，存在不同的實數α₁，α₁，使cotα₁=cotα₁，相應的直線l₁，l₂平行，故正確；
對于③，cosα•（x-2）+sinα•（y+1）=1⇒$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}}sin（α+θ）=1$，所有使$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}}＜1$的點（x，y）都不在其上，故正確；
對于④，⑤由③可得錯．
故答案為：②③

點評 本題考查了命題真假的判定，涉及到直線方程的知識，屬于基礎題．