Question

7．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC，PA=AC，E為PC上的動點，當 BE⊥PC時，$\frac{CE}{PC}$的值為$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 取特殊值，設AB⊥BC，AB=BC=$\sqrt{2}$，以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，過B作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出當BE⊥PC時，$\frac{CE}{PC}$的值為$\frac{1}{4}$．

解答 解：取特殊值，設AB⊥BC，AB=BC=$\sqrt{2}$，
以B為原點，BA為x軸，BC為y軸，過B作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，
則B（0，0，0），P（$\sqrt{2}$，2，0），C（0，$\sqrt{2}$，0），
設E（a，b，c），$\frac{CE}{PC}$=λ（0≤λ≤1），
則$\overrightarrow{CE}=λ\overrightarrow{CP}$，即（a，b-$\sqrt{2}$，c）=λ（$\sqrt{2}，2-\sqrt{2}$，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{2}λ}\\{b=\sqrt{2}+（2-\sqrt{2}）λ}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴E（$\sqrt{2}λ，\sqrt{2}+（2-\sqrt{2}）λ，0$），
∴$\overrightarrow{BE}$=（$\sqrt{2}λ，\sqrt{2}+（2-\sqrt{2}）λ，0$），$\overrightarrow{PC}$=（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}-2$，0），
∵BE⊥PC，∴$\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{PC}$=-2λ+$\sqrt{2}（\sqrt{2}-2）$-（2-$\sqrt{2}$）²λ=0，
解得$λ=\frac{1}{4}$．
∴當BE⊥PC時，$\frac{CE}{PC}$的值為$\frac{1}{4}$．
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查線段的比值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．