Question

19．已知命題p：關于x的函數y=log_a（x²-2ax+7a-6）的定義域為R；命題q：存在x∈R，使得關于x的不等式x²-ax+4＜0成立，若p或q為真命題，p且q為假命題．求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 若p或q為真命題，p且q為假命題，則命題p命題q一真一假，進而可得實數a的取值范圍．

解答 （本小題分14分）
解：命題p：關于x的函數y=log_a（x²-2ax+7a-6）的定義域為R，
則x²-2ax+7a-6＞0恒成立，
則△=4a²-4（7a-6）＜0，
解得：a∈（1，6）…（3分）
命題q：存在x∈R，使得關于x的不等式x²-ax+4＜0成立，
則△=a²-16＞0，
解得：a∈（-∞，-4）∪（4，+∞）…（6分）
∵p或q為真命題，p且q為假命題；
∴命題p命題q一真一假；…（8分）
當p真q假時，a∈（1，4]，…（10分）
當p假q真時，a∈（-∞，-4）∪[6，+∞）…（…（12分）
∴實數a的取值范圍為（-∞，-4）∪（1，4]∪[6，+∞）…（14分）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，函數恒成立等知識點，難度中檔．