Question

14．已知函數f（x）滿足f（x）=2f（$\frac{1}{x}$），當x∈[1，3]時，f（x）=lnx，若在區間[$\frac{1}{3}$，3]內，存在互不相等的實數a，b使f（a）=f（b），則ab的取值范圍為（1，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 求出f（x）在[$\frac{1}{3}$，3]上的解析式，根據f（a）=f（b）得出a，b的關系和b的范圍，從而得出ab關于b的表達式，利用b的范圍求出ab的范圍．

解答 解：設x∈[$\frac{1}{3}$，1]，則$\frac{1}{x}$∈[1，3]，
∴f（x）=2f（$\frac{1}{x}$）=2ln$\frac{1}{x}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2ln\frac{1}{x}，\frac{1}{3}≤x≤1}\\{lnx，1＜x≤3}\end{array}\right.$．
∴f（x）在[$\frac{1}{3}$，1]上單調遞減，在[1，3]上單調遞增，
且f（$\frac{1}{3}$）=2ln3，f（1）=0，f（3）=ln3，
∵在區間[$\frac{1}{3}$，3]內，存在互不相等的實數a，b使f（a）=f（b），不妨設a＜b，
則1＜b≤3，2ln$\frac{1}{a}$=lnb，∴$\frac{1}{{a}^{2}}$=b，即a=$\sqrt{\frac{1}{b}}$，
∴ab=$\sqrt{\frac{1}{b}}$•b=$\sqrt{b}$，
∴ab的取值范圍是（1，$\sqrt{3}$]．
故答案為：$（1，\sqrt{3}]$．

點評 本題考查了函數解析式的求法，函數單調性的判斷，函數值域的計算，屬于中檔題．