Question

3．已知函數f（x）=$\frac{ax+b}{{x}^{2}+1}$是定義在（-1，1）上的奇函數，且f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）判斷函數f（x）的單調性，并證明；
（3）解關于x的不等式f（2x-1）+f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）由已知中函數f（x）=$\frac{ax+b}{{x}^{2}+1}$是定義在（-1，1）上的奇函數，且f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$．求出a，b的值，進而可得：函數f（x）的解析式；
（2）f（x）在（-1，1）上為增函數，
證法一：設-1＜x₁＜x₂＜1，作差可得f（x₁）＜f（x₂），根據函數單調性的定義，可得：f（x）在在（-1，1）上為增函數，
證法二：求導，根據當x∈（-1，1）時，f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）在在（-1，1）上為增函數，
（3）根據函數的奇偶性和單調性，可將不等式f（2x-1）+f（x）＜0化為-1＜2x-1＜-x＜1，解得答案．

解答 解：（1）∵函數f（x）=$\frac{ax+b}{{x}^{2}+1}$是定義在（-1，1）上的奇函數，
∴f（0）=0，
又∵f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{2}{5}$．
∴b=0，a=1，
∴f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$．
（2）f（x）在（-1，1）上為增函數，理由如下：
證法一：設-1＜x₁＜x₂＜1，
則1-x₁•x₂＞0，x₁-x₂＞0，1+x₁²＞0，1+x₂²＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}+1}$-$\frac{{x}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}+1}$=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{1-{x}_{1}x}_{2}）}{{{（x}_{1}}^{2}+1）{{（x}_{2}}^{2}+1）}$＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在在（-1，1）上為增函數，
證法二：∵f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$．
∴f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{{（x}^{2}+1）^{2}}$．
當x∈（-1，1）時，f′（x）＞0恒成立，
∴f（x）在在（-1，1）上為增函數，
（3）∵f（2x-1）+f（x）＜0，
∴f（2x-1）＜-f（x）=f（-x），
又f（x）在在（-1，1）上為遞增的奇函數，
∴-1＜2x-1＜-x＜1，
∴0＜x＜$\frac{1}{3}$，
∴不等式f（2x-1）+f（x）＜0的解集為（0，$\frac{1}{3}$）．

點評 本題考查的知識點是函數的單調性，函數的奇偶性，函數解析式的求法，難度中檔．