Question

11．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直線l與橢圓C交于A，B兩點，且線段AB的中點為M（-2，1），則直線l的斜率為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由橢圓的離心率可得a，b的關系，得到橢圓方程為x²+4y²=4b²，設出A，B的坐標并代入橢圓方程，利用點差法求得直線l的斜率．

解答 解：由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，
∴a²=4b²，則橢圓方程為x²+4y²=4b²，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-4，y₁+y₂=2，
把A，B的坐標代入橢圓方程得：$\left\{\begin{array}{l}{{{x}_{1}}^{2}+4{{y}_{1}}^{2}=4{b}^{2}①}\\{{{x}_{2}}^{2}+4{{y}_{2}}^{2}=4{b}^{2}②}\end{array}\right.$，
①-②得：（x₁-x₂）（x₁+x₂）=-4（y₁-y₂）（y₁+y₂），
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}=-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}=-\frac{-4}{4×2}=\frac{1}{2}$．
∴直線l的斜率為$\frac{1}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，訓練了利用“點差法”求中點弦的斜率，是中檔題．