Question

18．德國著名數學家狄利克雷在數學領域成就顯著，以其名命名的函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}1，x為有理數\\ 0，x為無理數\end{array}$稱為狄利克雷函數，關于函數f（x）有以下四個命題：
①f（f（x））=1；
②函數f（x）是偶函數；
③任意一個非零有理數T，f（x+T）=f（x）對任意x∈R恒成立；
④存在三個點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），C（x₃，f（x₃）），使得△ABC為等邊三角形．
其中真命題的序號為①②③④．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析 ①根據函數的對應法則，可得不管x是有理數還是無理數，均有f（f（x））=1；
②根據函數奇偶性的定義，可得f（x）是偶函數；
③根據函數的表達式，結合有理數和無理數的性質；
④取x₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x₂=0，x₃=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得A（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），B（0，1），C（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），三點恰好構成等邊三角形．

解答 解：①∵當x為有理數時，f（x）=1；當x為無理數時，f（x）=0，
∴當x為有理數時，ff（（x））=f（1）=1；當x為無理數時，f（f（x））=f（0）=1，
即不管x是有理數還是無理數，均有f（f（x））=1，故①正確；
②∵有理數的相反數還是有理數，無理數的相反數還是無理數，
∴對任意x∈R，都有f（-x）=f（x），故②正確； 
③若x是有理數，則x+T也是有理數； 若x是無理數，則x+T也是無理數，
∴根據函數的表達式，任取一個不為零的有理數T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立，故③正確； 
④取x₁=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，x₂=0，x₃=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得f（x₁）=0，f（x₂）=1，f（x₃）=0，
∴A（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），B（0，1），C（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），恰好△ABC為等邊三角形，故④正確．
即真命題的個數是4個，
故答案為：①②③④．

點評 本題給出特殊函數表達式，求函數的值并討論它的奇偶性，著重考查了有理數、無理數的性質和函數的奇偶性等知識，屬于中檔題．