Question

5．如圖，圓O是△ABC的外接圓，D是$\widehat{AC}$的中點，BD交AC于E．
（Ⅰ）求證：DC²=DE•DB；
（Ⅱ）若CD=4$\sqrt{3}$，點O到AC的距離等于點D到AC的距離的一半，求圓O的半徑r．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明△BDC∽△CDE，即可證明：DC²=DE•DB；
（Ⅱ）連結OD，OD⊥AC，設垂足為F，求出$OF=\frac{1}{3}r\;\;，\;\;DF=\frac{2}{3}r$，利用勾股定理建立方程，即可得出結論．

解答 （Ⅰ）證明：∵D是$\widehat{AC}$的中點，∴∠ABD=∠CBD
又∵∠ABD=∠ACD
∴∠CBD=∠ACD，∠BDC=∠CDE，
∴△BDC∽△CDE，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{DC}{DE}$，即DC²=DE•DB，…（5分）
（Ⅱ）解：連結OD，
∵D是$\widehat{AC}$的中點，
∴OD⊥AC，設垂足為F，
則$OF=\frac{1}{2}DF\;\;，\;\;OF+DF=OD=r$，
∴$OF=\frac{1}{3}r\;\;，\;\;DF=\frac{2}{3}r$，
在Rt△OFC中，OF²+FC²=r²，∴$F{C^2}=\frac{8}{9}{r^2}$，
在Rt△DFC中，DF²+FC²=CD²=48，即${（{\frac{2}{3}r}）^2}+\frac{8}{9}{r^2}=48$，
得r=6．…（10分）

點評 本題考查三角形相似的判定與性質的運用，考查勾股定理的運用，屬于中檔題．