Question

4．（1）求函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x-1}$的值域
（2）求函數(shù)f（x）=x²+4x-1的值域
（3）求函數(shù)f（x）=x+$\sqrt{x+1}$的值域．

Answer 1

分析 （1）利用反比例性質(zhì)求解值域即可．
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解值域即可．
（3）換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解值域即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x-1}$，
∵x-1≠0，
∴f（x）≠0
故得函數(shù)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x-1}$的值域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）．
（2）函數(shù)f（x）=x²+4x-1，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知：開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸x=-2．
當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)y取得最小值為-5；
故得函數(shù)f（x）=x²+4x-1的值域?yàn)閇-5，+∞）．
（3）函數(shù)f（x）=x+$\sqrt{x+1}$，
設(shè)t=$\sqrt{x+1}$，（t≥0），則x=t²-1．
∴函數(shù)f（x）=x+$\sqrt{x+1}$轉(zhuǎn)化為g（t）═t²-1+t，（t≥0）
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知：函數(shù)g（t）開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸t=-$\frac{1}{2}$．
∵t≥0，
∴當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)y取得最小值為-1；
故得函數(shù)g（t）═t²-1+t的值域?yàn)閇-1，+∞），即函數(shù)f（x）=x+$\sqrt{x+1}$的值域?yàn)閇-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)值域的求法．高中函數(shù)值域求法有：1、觀(guān)察法，2、配方法，3、反函數(shù)法，4、判別式法；5、換元法，6、數(shù)形結(jié)合法，7、不等式法，8、分離常數(shù)法，9、單調(diào)性法，10、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，11、最值法，12、構(gòu)造法，13、比例法．要根據(jù)題意選擇．