Question

14．已知數列{a_n}，{b_n}滿足a₁=1，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3{a}_{n}+2}$，a_nb_n=1，則使b_n＞101的最小的n為（　　）

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 先化簡已知的等式，利用待定系數法和構造法得到數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$+3}是等比數列，由條件和等比數列的通項公式求出$\frac{1}{{a}_{n}}$，代入a_nb_n=1求出b_n，化簡使b_n＞101即可求出最小的n．

解答 解：由$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3{a}_{n}+2}$，
得3a_n+1a_n+2a_n+1=a_n，
兩邊同除a_n+1a_n得，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$+3，
設$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+k=2（$\frac{1}{{a}_{n}}$+k），則$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{{a}_{n}}$+k，即k=3，
∴$\frac{\frac{1}{{a}_{n+1}}+3}{\frac{1}{{a}_{n}}+3}$=2，由a₁=1得$\frac{1}{{a}_{1}}+3$=4，
∴數列{$\frac{1}{{a}_{n}}$+3}是以2為公比、4為首項的等比數列，
則$\frac{1}{{a}_{n}}$+3=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2ⁿ⁺¹-3，
由a_nb_n=1得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$=2ⁿ⁺¹-3，
∴b_n＞101為2ⁿ⁺¹-3＞101，即2ⁿ⁺¹＞104，
∵2⁶=64，2⁷=128，∴使b_n＞101的最小的n為6．
故選：C．

點評 本題考查數列遞推公式的化簡，待定系數法和構造法求數列的通項公式，是中檔題．