Question

5．（Ⅰ） 計算：2${\;}^{-lo{g}_{2}4}$-（$\frac{8}{27}$）${\;}^{-\frac{2}{3}}$+lg$\frac{1}{100}$+（$\sqrt{2}$-1）^lg1+（lg5）²+lg2•lg50
（Ⅱ）已知x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，求$\frac{{x}^{2}+{x}^{-2}-2}{x+{x}^{-1}-3}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡2${\;}^{-lo{g}_{2}4}$=${2}^{lo{g}_{2}\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{4}$，（$\frac{8}{27}$）${\;}^{-\frac{2}{3}}$=$[（\frac{2}{3}）^{3}]^{-\frac{2}{3}}$；
（Ⅱ）化簡x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，從而利用完全平方公式求解．

解答 解：（Ⅰ）2${\;}^{-lo{g}_{2}4}$-（$\frac{8}{27}$）${\;}^{-\frac{2}{3}}$+lg$\frac{1}{100}$+（$\sqrt{2}$-1）^lg1+（lg5）²+lg2•lg50
=${2}^{lo{g}_{2}\frac{1}{4}}$-$[（\frac{2}{3}）^{3}]^{-\frac{2}{3}}$-2+（$\sqrt{2}$-1）⁰+（lg5）²+2lg2•lg5+（lg2）²
=$\frac{1}{4}$-$\frac{9}{4}$-2+1+1=-2；
（Ⅱ）∵x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，
∴x+x^-1=（x${\;}^{\frac{1}{2}}$+x${\;}^{-\frac{1}{2}}$）²-2=7，
x²+x^-2=（x+x^-1）²-2=47，
∴$\frac{{x}^{2}+{x}^{-2}-2}{x+{x}^{-1}-3}$=$\frac{47-2}{7-3}$=$\frac{45}{4}$．

點評 本題考查了有理數指數冪的化簡運算及求值，同時考查了完全平方公式的應用．