Question

17．已知圓N經過點A（3，1），B（-1，3），且它的圓心在直線3x-y-2=0上．
（Ⅰ）求圓N的方程；
（Ⅱ）求圓N關于直線x-y+3=0對稱的圓的方程．
（Ⅲ）若點D為圓N上任意一點，且點C（3，0），求線段CD的中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先設出方程，將點坐標代入得到關于參數的方程組，通過解方程組得到參數值，從而確定其方程；
（Ⅱ）求出N（2，4）關于x-y+3=0的對稱點為（1，5），即可得到圓N關于直線x-y+3=0對稱的圓的方程；
（Ⅲ）首先設出點M的坐標，利用中點得到點D坐標，代入圓的方程整理化簡得到的中點M的軌跡方程．

解答 解：（Ⅰ）由已知可設圓心N（a，3a-2），又由已知得|NA|=|NB|，
從而有$\sqrt{（a-3）^{2}+（3a-2-1）^{2}}$=$\sqrt{（a+1）^{2}+（3a-2-3）^{2}}$，解得：a=2．
于是圓N的圓心N（2，4），半徑r=$\sqrt{10}$．
所以，圓N的方程為（x-2）²+（y-4）²=10；
（Ⅱ）設N（2，4）關于直線x-y+3=0對稱點的坐標為（m，n），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-4}{m-2}•1=-1}\\{\frac{2+m}{2}-\frac{4+n}{2}+3=0}\end{array}\right.$，
∴m=1，n=5，
∴圓N關于直線x-y+3=0對稱的圓的方程為（x-1）²+（y-5）²=10；
（Ⅲ）設M（x，y），D（x₁，y₁），
則由C（3，0）及M為線段CD的中點得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2x-3}\\{{y}_{1}=2y}\end{array}\right.$．
又點D在圓N：（x-2）²+（y-4）²=10上，所以有（2x-3-2）²+（2y-4）²=10，
化簡得：${（x-\frac{5}{2}）^2}+{（y-2）^2}=\frac{5}{2}$．
故所求的軌跡方程為${（x-\frac{5}{2}）^2}+{（y-2）^2}=\frac{5}{2}$．

點評 本題考查圓的方程，考查代入法，圓的方程一般采用待定系數法，屬于中檔題．