Question

12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，ABCD為菱形，PD⊥平面ABCD，連接AC、BD，交于點F，AC=6，BD=8，E是棱PB上的動點，△AEC面積的最小值是3，連接DE，
（1）求證：AC⊥DE；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）通過證明AC⊥平面PBD得出AC⊥DE；
（2）作FM⊥PB，垂足為M，則利用△PBD∽△FBM計算PD，代入棱錐的體積公式進行計算．

解答 證明：（1）∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PD⊥AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
又PD?平面PBD，BD?平面PBD，BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PBD，又DE?平面PBD，
∴AC⊥DE．
（2）作FM⊥PB，垂足為M，
則當E與M重合時，△ACE的面積取得最小值，
∴$\frac{1}{2}$AC•FM=3，∴FM=1．∴BM=$\sqrt{15}$，
∵△PBD∽△FBM，
∴$\frac{PD}{FM}=\frac{BD}{BM}$，即$\frac{PD}{1}=\frac{8}{\sqrt{15}}$，∴PD=$\frac{8\sqrt{15}}{15}$．
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{菱形ABCD}•PD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×6×8×\frac{8\sqrt{15}}{15}$=$\frac{64\sqrt{15}}{15}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質，棱錐的體積計算，屬于中檔題．