Question

17．已知橢圓C₁與雙曲線C₂有相同的焦點F₁、F₂，點P是C₁與C₂的一個公共點，△PF₁F₂是以一個以PF₁為底的等腰三角形，|PF₁|=4，C₁的離心率為$\frac{3}{7}$，則C₂的離心率是（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． $2\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 利用離心率的定義，及橢圓C₁的離心率的值為$\frac{3}{7}$，|PF₁|=4，|F₁F₂|=|PF₂|，可求得|PF₂|=3，再利用橢圓的離心率e₂=$\frac{丨{F}_{1}{F}_{2}丨}{丨P{F}_{1}丨-丨P{F}_{2}丨}$=3，可得結論．

解答 解：根據題意知C₁的離心率e₁=$\frac{{c}_{1}}{{a}_{1}}$=$\frac{2{c}_{1}}{2{a}_{1}}$=$\frac{丨{F}_{1}{F}_{2}丨}{丨P{F}_{1}丨+丨P{F}_{2}丨}$=$\frac{3}{7}$，
又|PF₁|=4，丨F₁F₂丨=丨PF₂丨
∴丨PF₂丨=丨F₁F₂丨=3，
∴雙曲線的離心率e₂=$\frac{丨{F}_{1}{F}_{2}丨}{丨P{F}_{1}丨-丨P{F}_{2}丨}$=3，
故選B．

點評 本題考查橢圓與雙曲線的幾何性質，解題的關鍵是正確運用離心率的定義，屬于中檔題．