Question

【題目】平面直角坐標系中，圓的圓心為.已知點，且為圓上的動點，線段的中垂線交于點.

（Ⅰ）求點的軌跡方程；

（Ⅱ）設點的軌跡為曲線，拋物線： 的焦點為.， 是過點互相垂直的兩條直線，直線與曲線交于， 兩點，直線與曲線交于， 兩點，求四邊形面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）四邊形面積的取值范圍是.

【解析】試題分析;(1)根據中垂線的幾何性質得到 ，由橢圓的定義的到軌跡方程為；（2），聯立直線和橢圓得到二次方程，由弦長公式分別求得AC和BD，進而求得面積表達式，再由換元法得到最值.

解析：

（Ⅰ）∵為線段中垂線上一點，

∴ ，

∵， ，∵，

∴的軌跡是以， 為焦點，長軸長為的橢圓，

它的方程為.

（Ⅱ）∵的焦點為，

的方程為，

當直線斜率不存在時， 與只有一個交點，不合題意.

當直線斜率為時，可求得， ，

∴.

當直線斜率存在且不為時，

方程可設為，代入得

， ，

設， ，則， ，

.

直線的方程為與可聯立得，

設， ，則，

∴四邊形的面積

.

令，則，

，

∴在是增函數， ，

綜上，四邊形面積的取值范圍是.