Question

【題目】已知函數有兩個零點．

（1）求實數的取值范圍；

（2）設， （）是的兩個零點，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】【試題分析】（1）先對函數求導，然后對分成兩類，結合函數兩個零點，研究函數的單調區間，由此求得的取值范圍.（2）將要證明的不等式，利用函數，等價轉化為證明，構造函數令，利用導數求得由此證得不等式成立.

【試題解析】

解：（1）∵， ．

（2）當時， 在上恒成立，∴在上單調遞增，顯然不符合題意．

（3）當時，由，得，

	遞減	極小值	遞增

當→， →時都有→，

當，即時有兩個零點．

（2）要證，即證，

由已知， ，

即證，

即證，即證，即證，

又∵，且在單調遞增，

故只需證，即證，

令且，

∵ ，

∴在單調遞減，∴，

∴在上恒成立，

∴，故原命題得證．