Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為， ， 為橢圓的上頂點， 為等邊三角形，且其面積為， 為橢圓的右頂點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓相交于兩點（不是左、右頂點），且滿足，試問：直線是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標，否則說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；（Ⅱ）直線過定點，定點坐標為.

【解析】試題分析：⑴由為等邊三角形，且其面積為，可以得， ，從而計算出結果；⑵設， ，聯立直線與橢圓方程得， ，又因為， ，代入化簡得，解出與的關系代入求解即可

解析：（Ⅰ）由已知

∴．∴橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）設， ，

聯立得，

又，

因為橢圓的右頂點為，

∴，即，

∴，

∴，

∴．

解得： ， ，且均滿足，

當時， 的方程為，直線過定點，與已知矛盾；

當時， 的方程為，直線過定點．

所以，直線過定點，定點坐標為