【題目】已知橢圓
的離心率
，左、右焦點分別為
，且
與拋物線
的焦點重合.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若過
的直線交橢圓于
兩點，過
的直線交橢圓于
兩點，且
，求
的最小值.
【答案】（1）橢圓的標準方程為
；（2）
的最小值為
.
【解析】試題分析：（1）由題可知）拋物線
的焦點為
，所以
，然后根據離心率可得a值，從而得出橢圓標準方程（2）根據題意則需求出AC和BD的長度表達式，顯然可以根據直線與橢圓的弦長公式求得，所以設
， 
，直線
的方程為
，代入橢圓方程
， 
，同理求出AC的長度，然后化簡即得
.
解析：
（1）拋物線
的焦點為
，所以
，
又因為
，所以
，
所以
，所以橢圓的標準方程為
.
（2）（i）當直線
的斜率
存在且
時，
直線
的方程為
，代入橢圓方程
，
并化簡得
.
設
， 
，則
， 
，
.
易知
的斜率為
，
所以
.
.
當
，即
時，上式取等號，故
的最小值為
.
（ii）當直線
的斜率不存在或等于零時，易得
.
綜上， 
的最小值為
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
： 
（
）的焦點是橢圓
： 
（
）的右焦點，且兩曲線有公共點
（1）求橢圓
的方程；
（2）橢圓
的左、右頂點分別為
， 
，若過點
且斜率不為零的直線
與橢圓
交于
， 
兩點，已知直線
與
相較于點
，試判斷點
是否在一定直線上？若在，請求出定直線的方程；若不在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
， 
， 
為橢圓的上頂點， 
為等邊三角形，且其面積為
， 
為橢圓的右頂點.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）若直線
與橢圓
相交于
兩點（
不是左、右頂點），且滿足
，試問：直線
是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標，否則說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，離心率
，過
且與
軸垂直的直線與橢圓
在第一象限內的交點為
，且
.
(1)求橢圓
的方程；
(2)過點
的直線
交橢圓
于
兩點，當
時，求直線
的方程.
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