Question

16．如圖，網格紙上的小正方形邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體外接球的體積為$8\sqrt{6}π$．

Answer 1

分析 作出幾何體的直觀圖，建立坐標系，利用距離公式列方程求出外接球的球心坐標，從而得出外接球的半徑，代入體積公式計算得出答案．

解答 解：幾何體為三棱錐，直觀圖如圖所示：
其中PA⊥底面ABC，AB⊥BC，BC=4，AB=PA=2，
以B為原點建立如圖所示的空間坐標系B-xyz，
則A=（2，0，0），B（0，0，0），C（0，4，0），P（2，0，2），
設棱錐的外接球球心為M（x，y，z），則MA=MB=MC=MP，
即（x-2）²+y²+z²=x²+y²+z²=x²+（y-4）²+z²=（x-2）²+y²+（z-2）²，
∴x=1，y=2，z=1，
∴外接球半徑R=|MB|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
∴外接球的體積V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=8$\sqrt{6}$π．
故答案為：8$\sqrt{6}$π．

點評 本題考查了棱錐的三視圖，棱錐與外接球的位置關系，體積公式，屬于中檔題．