Question

11．圖中，小方格是邊長為1的正方形，圖中粗線畫出的是某幾何體的三視圖，且該幾何體的頂點都在同一球面上，則該幾何體的外接球的表面積為（　�。�

• A． 32π
• B． 48π
• C． 50π
• D． 64π

Answer 1

分析 通過還原三視圖確定幾何體，利用空間中的位置關系計算可得球的半徑，進而利用面積公式即得結論．

解答 解：由三視圖可知該幾何體是一個底面是矩形的四棱錐，
記該幾何體的外接球球心為O，半徑R=OA，
則PA=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}+{4}^{2}}$=$2\sqrt{3}$，OP=R-$2\sqrt{3}$，
所以OA²=OP²+AP²，
又因為OP²=$（R-\frac{1}{2}×\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}）^{2}$=$（R-2\sqrt{2}）^{2}$，
所以R²=$（R-2\sqrt{2}）^{2}$+$（2\sqrt{3}）^{2}$，解得：R=$\frac{5}{\sqrt{2}}$，
所以所求面積S=4π×R²=4π×$（\frac{5}{\sqrt{2}}）^{2}$=50π，
故選：C．

點評 本題考查三視圖求面積，考查空間想象能力，找出球心是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．