Question

5．已知函數f（x）=sinx-cosx，g（x）=sin2x
（1）試說明由函數y=g（x）的圖象經過變換得到函數y=f（x）的圖象的變換過程；
（2）若h（x）=f（x）+g（x），求函數h（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由已知可得$f（x）=\sqrt{2}sin（{x-\frac{π}{4}}）$，由函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律即可得解．
（2）令sinx-cosx=t，則可求sin2x=1-t²，可得h（x）=f（x）+g（x）=φ（t）=-t²+t+1，由t的范圍，結合二次函數的性質可求值域．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）$f（x）=\sqrt{2}sin（{x-\frac{π}{4}}）$…（2分）
故先將y=sin2x的圖象上所有點縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的兩倍得到y=sinx的圖象，
再將y=sinx的圖象上所有點橫坐標不變，縱坐標伸長到原來的$\sqrt{2}$倍得到$y=\sqrt{2}sinx$的圖象，
再把所得圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位，即得到$y=\sqrt{2}sin（{x-\frac{π}{4}}）$的圖象．…（5分）
（2）令sinx-cosx=t，則1-2sinxcosx=t²
故sin2x=1-t²
故h（x）=f（x）+g（x）=φ（t）=-t²+t+1…（7分）
由（1）知，$t∈[{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}]，所以φ（t）在[{-\sqrt{2}，\frac{1}{2}}]遞增，[{\frac{1}{2}，\sqrt{2}}]遞減$，
所以$φ（t）∈[{-\sqrt{2}-1，\frac{5}{4}}]$，故h（x）的值域為$[{-\sqrt{2}-1，\frac{5}{4}}]$…．（12分）

點評 本題值域考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，二次函數的圖象和性質的綜合應用，考查了轉化思想和數形結合思想，屬于中檔題．