Question

11．如圖，在三棱錐A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點E、F（E與A、D不重合）分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD．
求證：（1）EF∥平面ABC；
（2）AD⊥AC．

Answer 1

分析 （1）利用AB∥EF及線面平行判定定理可得結論；
（2）通過取線段CD上點G，連結FG、EG使得FG∥BC，則EG∥AC，利用線面垂直的性質定理可知FG⊥AD，結合線面垂直的判定定理可知AD⊥平面EFG，從而可得結論．

解答 證明：（1）因為AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四點共面，
所以AB∥EF，
又因為EF?平面ABC，AB⊆平面ABC，
所以由線面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；
（2）在線段CD上取點G，連結FG、EG使得FG∥BC，則EG∥AC，
因為BC⊥BD，FG∥BC，
所以FG⊥BD，
又因為平面ABD⊥平面BCD，
所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，
又因為AD⊥EF，且EF∩FG=F，
所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，
故AD⊥AC．

點評 本題考查線面平行及線線垂直的判定，考查空間想象能力，考查轉化思想，涉及線面平行判定定理，線面垂直的性質及判定定理，注意解題方法的積累，屬于中檔題．