Question

20．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點．
（1）求證：PA⊥BD；
（2）求證：平面BDE⊥平面PAC；
（3）當PA∥平面BDE時，求三棱錐E-BCD的體積．

Answer 1

分析 （1）運用線面垂直的判定定理可得PA⊥平面ABC，再由性質定理即可得證；
（2）要證平面BDE⊥平面PAC，可證BD⊥平面PAC，由（1）運用面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面ABC，再由等腰三角形的性質可得BD⊥AC，運用面面垂直的性質定理，即可得證；
（3）由線面平行的性質定理可得PA∥DE，運用中位線定理，可得DE的長，以及DE⊥平面ABC，求得三角形BCD的面積，運用三棱錐的體積公式計算即可得到所求值．

解答 解：（1）證明：由PA⊥AB，PA⊥BC，
AB?平面ABC，BC?平面ABC，且AB∩BC=B，
可得PA⊥平面ABC，
由BD?平面ABC，
可得PA⊥BD；
（2）證明：由AB=BC，D為線段AC的中點，
可得BD⊥AC，
由PA⊥平面ABC，PA?平面PAC，
可得平面PAC⊥平面ABC，
又平面ABC∩平面ABC=AC，
BD?平面ABC，且BD⊥AC，
即有BD⊥平面PAC，
BD?平面BDE，
可得平面BDE⊥平面PAC；
（3）PA∥平面BDE，PA?平面PAC，
且平面PAC∩平面BDE=DE，
可得PA∥DE，
又D為AC的中點，
可得E為PC的中點，且DE=$\frac{1}{2}$PA=1，
由PA⊥平面ABC，
可得DE⊥平面ABC，
可得S_△BDC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×2×2=1，
則三棱錐E-BCD的體積為$\frac{1}{3}$DE•S_△BDC=$\frac{1}{3}$×1×1=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查空間的線線、線面和面面的位置關系的判斷，主要是平行和垂直的關系，注意運用線面平行的性質定理以及線面垂直的判定定理和性質定理，面面垂直的判定定理和性質定理，同時考查三棱錐的體積的求法，考查空間想象能力和推理能力，屬于中檔題．