Question

16．已知函數f（x）=x³+ax²+bx+1（a＞0，b∈R）有極值，且導函數f′（x）的極值點是f（x）的零點．（極值點是指函數取極值時對應的自變量的值）
（1）求b關于a的函數關系式，并寫出定義域；
（2）證明：b²＞3a；
（3）若f（x），f′（x）這兩個函數的所有極值之和不小于-$\frac{7}{2}$，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過對f（x）=x³+ax²+bx+1求導可知g（x）=f′（x）=3x²+2ax+b，進而再求導可知g′（x）=6x+2a，通過令g′（x）=0進而可知f′（x）的極小值點為x=-$\frac{a}{3}$，從而f（-$\frac{a}{3}$）=0，整理可知b=$\frac{2{a}^{2}}{9}$+$\frac{3}{a}$（a＞0），結合f（x）=x³+ax²+bx+1（a＞0，b∈R）有極值可知f′（x）=0有兩個不等的實根，進而可知a＞3．
（2）通過（1）構造函數h（a）=b²-3a=$\frac{4{a}^{4}}{81}$-$\frac{5a}{3}$+$\frac{9}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{81{a}^{2}}$（4a³-27）（a³-27），結合a＞3可知h（a）＞0，從而可得結論；
（3）通過（1）可知f′（x）的極小值為f′（-$\frac{a}{3}$）=b-$\frac{{a}^{2}}{3}$，利用韋達定理及完全平方關系可知y=f（x）的兩個極值之和為$\frac{4{a}^{3}}{27}$-$\frac{2ab}{3}$+2，進而問題轉化為解不等式b-$\frac{{a}^{2}}{3}$+$\frac{4{a}^{3}}{27}$-$\frac{2ab}{3}$+2=$\frac{3}{a}$-$\frac{{a}^{2}}{9}$≥-$\frac{7}{2}$，因式分解即得結論．

解答 （1）解：因為f（x）=x³+ax²+bx+1，
所以g（x）=f′（x）=3x²+2ax+b，g′（x）=6x+2a，
令g′（x）=0，解得x=-$\frac{a}{3}$．
由于當x＞-$\frac{a}{3}$時g′（x）＞0，g（x）=f′（x）單調遞增；當x＜-$\frac{a}{3}$時g′（x）＜0，g（x）=f′（x）單調遞減；
所以f′（x）的極小值點為x=-$\frac{a}{3}$，
由于導函數f′（x）的極值點是原函數f（x）的零點，
所以f（-$\frac{a}{3}$）=0，即-$\frac{{a}^{3}}{27}$+$\frac{{a}^{3}}{9}$-$\frac{ab}{3}$+1=0，
所以b=$\frac{2{a}^{2}}{9}$+$\frac{3}{a}$（a＞0）．
因為f（x）=x³+ax²+bx+1（a＞0，b∈R）有極值，
所以f′（x）=3x²+2ax+b=0的實根，
所以4a²-12b≥0，即a²-$\frac{2{a}^{2}}{3}$+$\frac{9}{a}$≥0，解得a≥3，
所以b=$\frac{2{a}^{2}}{9}$+$\frac{3}{a}$（a≥3）．
（2）證明：由（1）可知h（a）=b²-3a=$\frac{4{a}^{4}}{81}$-$\frac{5a}{3}$+$\frac{9}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{81{a}^{2}}$（4a³-27）（a³-27），
由于a＞3，所以h（a）＞0，即b²＞3a；
（3）解：由（1）可知f′（x）的極小值為f′（-$\frac{a}{3}$）=b-$\frac{{a}^{2}}{3}$，
設x₁，x₂是y=f（x）的兩個極值點，則x₁+x₂=$-\frac{2a}{3}$，x₁x₂=$\frac{b}{3}$，
所以f（x₁）+f（x₂）=${{x}_{1}}^{3}$+${{x}_{2}}^{3}$+a（${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$）+b（x₁+x₂）+2
=（x₁+x₂）[（x₁+x₂）²-3x₁x₂]+a[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+b（x₁+x₂）+2
=$\frac{4{a}^{3}}{27}$-$\frac{2ab}{3}$+2，
又因為f（x），f′（x）這兩個函數的所有極值之和不小于-$\frac{7}{2}$，
所以b-$\frac{{a}^{2}}{3}$+$\frac{4{a}^{3}}{27}$-$\frac{2ab}{3}$+2=$\frac{3}{a}$-$\frac{{a}^{2}}{9}$≥-$\frac{7}{2}$，
因為a＞3，所以2a³-63a-54≤0，
所以2a（a²-36）+9（a-6）≤0，
所以（a-6）（2a²+12a+9）≤0，
由于a＞3時2a²+12a+9＞0，
所以a-6≤0，解得a≤6，
所以a的取值范圍是（3，6]．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性、極值，考查運算求解能力，考查轉化思想，注意解題方法的積累，屬于難題．