Question

7．設函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≤0}\\{{2}^{x}，x＞0}\end{array}\right.$，則滿足f（x）+f（x-$\frac{1}{2}$）＞1的x的取值范圍是（$-\frac{1}{4}$，+∞）．

Answer 1

分析 根據分段函數的表達式，分別討論x的取值范圍，進行求解即可．

解答 解：若x≤0，則x-$\frac{1}{2}$≤-$\frac{1}{2}$，
則f（x）+f（x-$\frac{1}{2}$）＞1等價為x+1+x-$\frac{1}{2}$+1＞1，即2x＞-$\frac{1}{2}$，則x＞$-\frac{1}{4}$，
此時$-\frac{1}{4}$＜x≤0，
當x＞0時，f（x）=2^x＞1，x-$\frac{1}{2}$＞-$\frac{1}{2}$，
當x-$\frac{1}{2}$＞0即x＞$\frac{1}{2}$時，滿足f（x）+f（x-$\frac{1}{2}$）＞1恒成立，
當0≥x-$\frac{1}{2}$＞-$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}$≥x＞0時，f（x-$\frac{1}{2}$）=x-$\frac{1}{2}$+1=x+$\frac{1}{2}$$＞\frac{1}{2}$，
此時f（x）+f（x-$\frac{1}{2}$）＞1恒成立，
綜上x＞$-\frac{1}{4}$，
故答案為：（$-\frac{1}{4}$，+∞）．

點評 本題主要考查不等式的求解，結合分段函數的不等式，利用分類討論的數學思想進行求解是解決本題的關鍵．