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9.已知函數f(x)=axlnx(a為非零常數)圖象上點(e,f(e))處的切線與直線y=2x平行(其中e=2.71828…).
(Ⅰ)求函數f(x)解析式;
(Ⅱ)求函數f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(Ⅲ)若斜率為k的直線與曲線y=f′(x)交于A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1<x2)兩點,求證:x1<$\frac{1}{k}$<x2

分析 (I)根據切線方程與直線y=2x平行得到切線的斜率為2,即可得到f'(e)=2,求出函數的導函數把f'(e)=2代入即可求出a的值得到函數的解析式;
(Ⅱ)由(Ⅰ)求得f'(x),令f'(x)=0可得極值點$\frac{1}{e}$,按照極值點與區間位置關系分類討論:當0<t<$\frac{1}{e}$<t+2時,當$\frac{1}{e}$≤t<t+2時可求得最值;
(Ⅲ)k=$\frac{f′({x}_{2})-f′({x}_{1})}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$,要證x1<$\frac{1}{k}$<x2,即證x1<$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}$<x2,等價于1<$\frac{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1}{ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$<$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$,令t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$,則只證1<$\frac{t-1}{lnt}$<t,由t>1,知lnt>0,故等價于證明lnt<t-1<tlnt,構造函數利用導數可證明兩不等式;

解答 解:(I)由點(e,f(e))處的切線方程與直線2x-y=0平行,
得該切線斜率為2,即f′(e)=2.
又∵f′(x)=a(lnx+1),令a(lne+1)=2,解得a=1,
∴f(x)=xlnx.
(II)由(I)知f′(x)=lnx+1,
顯然f′(x)=0時x=e-1,當x∈(0,$\frac{1}{e}$)時,f′(x)<0,
∴函數f(x)在(0,$\frac{1}{e}$)上單調遞減.
當x∈($\frac{1}{e}$,+∞)時,f′(x)>0,
∴函數f(x)在($\frac{1}{e}$,+∞)上單調遞增,
①0<t<$\frac{1}{e}$<t+2,即0<t<$\frac{1}{e}$時,f(x)min=f($\frac{1}{e}$)=-$\frac{1}{e}$;
②$\frac{1}{e}$≤t<t+2,即t≥$\frac{1}{e}$時,f(x)在[t,t+2]上單調遞增,f(x)min=f(t)=tlnt;
∴f(x)min=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{e},}&{0<t<\frac{1}{e}}\\{tlnt,}&{t≥\frac{1}{e}}\end{array}\right.$;
(Ⅲ)k=$\frac{f′({x}_{2})-f′({x}_{1})}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$,
要證x1<$\frac{1}{k}$<x2,即證x1<$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{ln{x}_{2}-ln{x}_{1}}$<x2,等價于1<$\frac{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1}{ln\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$<$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$,
令t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$,則只證1<$\frac{t-1}{lnt}$<t,由t>1,知lnt>0,故等價于證明lnt<t-1<tlnt,…12分
①設g(t)=t-1-lnt(t≥1),則g'(t)=1-$\frac{1}{t}$≥0,(t≥1),故g(t)在[1,+∞)上遞增,
∴t>1時,g(t)=t-1-lnt>g(1)=0,即t-1>lnt,(t>1);
②設h(t)=tlnt-t+1(t≥1),則h'(t)=lnt≥0,(t≥1),故h(t)在[1,+∞)上是增函數,
∴當t>1時,h(t)=tlnt-t+1>h(1)=0,即tlnt>t-1;
由①②可知,lnt<t-1<tlnt成立,故x1<$\frac{1}{k}$<x2…14分

點評 本題考查導數的幾何意義、利用導數研究函數的最值及不等式的證明等知識,考查分類討論思想、函數思想,考查學生綜合運用知識分析問題解決問題的能力、推理論證能力,該題綜合性強,能力要求較高.

練習冊系列答案
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(3)男生甲、乙、丙順序一定,有多少種排法?
(4)男甲在男乙的左邊(不一定相鄰)有多少種不同的排法?

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網購金額
(單位千元)
頻數頻率
(0,0.5]30.05
(0.5,1]xp
(1,1.5]90.15
(1.5,2]150.25
(2,2.5]180.30
(2.5,3]yq
合計601.00
若網購金額超過2千元的顧客定義為“網購達人”,網購金額不超過2千元的顧客定義為“非網購達人”,已知“非網購達人”與“網購達人”人數比恰好為3:2.
(1)試確定x,y,p,q的值,并補全頻率分布直方圖;
(2)試營銷部門為了進一步了解這60名網友的購物體驗,從“非網購達人”、“網購達人”中用分層抽樣的方法確定5人,若需從這5人中隨機選取2人進行問卷調查,則恰好選取1名“網購達人”和1名“非網購達人”的概率是多少?

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(Ⅰ)證明:MN∥平面ABCD;
(Ⅱ)求異面直線NC與BP所成角的余弦值;
(Ⅲ)過點A作AQ⊥PC,垂足為點Q,求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值.

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