Question

20．已知$α-β=\frac{π}{3}，tanα-tanβ=3$，則cos（α+β）的值為$\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 “切化弦”的思想，根據tanα-tanβ=$\frac{sinα}{cosα}-\frac{sinβ}{cosβ}=\frac{sin（α-β）}{cosαcosβ}$=3，α-β=$\frac{π}{3}$，求出cosαcosβ，在利用和與差求sinαsinβ，即可求cos（α+β）的值．

解答 解：tanα-tanβ=$\frac{sinα}{cosα}-\frac{sinβ}{cosβ}=\frac{sin（α-β）}{cosαcosβ}$=3，α-β=$\frac{π}{3}$，
∴cosαcosβ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{1}{2}$，
∴sinαsinβ=$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}$
那么：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{2}$．
故答案為$\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了“切化弦”的思想和和與差的公式的靈活運用．考查了計算能力．屬于中檔題．