Question

10．已知△ABC，AB=AC=4，BC=2，點D為AB延長線上一點，BD=2，連結CD，則△BDC的面積是$\frac{\sqrt{15}}{2}$，cos∠BDC=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

Answer 1

分析 如圖，取BC得中點E，根據勾股定理求出AE，再求出S_△ABC，再根據S_△BDC=$\frac{1}{2}$S_△ABC即可求出，根據等腰三角形的性質和二倍角公式即可求出

解答 解：如圖，取BC得中點E，
∵AB=AC=4，BC=2，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=1，AE⊥BC，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AE=$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{15}$=$\sqrt{15}$，
∵BD=2，
∴S_△BDC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
∵BC=BD=2，
∴∠BDC=∠BCD，
∴∠ABE=2∠BDC
在Rt△ABE中，
∵cos∠ABE=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{1}{4}$，
∴cos∠ABE=2cos²∠BDC-1=$\frac{1}{4}$，
∴cos∠BDC=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{15}}{2}$，$\frac{\sqrt{10}}{4}$

點評 本題考查了解三角形的有關知識，關鍵是轉化，屬于基礎題