Question

15．（1）若函數f（x）=lnx+asin（1-x）在區間（0，1）上為增函數，求實數a的取值范圍；
（2）證明：$\sum_{k=1}^{n}$sin$\frac{1}{（k+1）^{2}}$＜ln2．

Answer 1

分析 （1）方法一：函數f（x）在區間（0，1）上為增函數，只要f′（x）≥0在區間（0，1）上恒成立，利用常數分離法a≤$\frac{1}{xcos（1-x）}$，構造輔助函數，求導，根據函數的單調性即可求得實數a的取值范圍；方法二：函數f（x）在區間（0，1）上為增函數，只要f′（x）≥0在區間（0，1）上恒成立，分類討論，由a＜0恒成立，當a＞0，利用常數分離法$\frac{1}{a}$≥xcos（1-x），構造輔助函數，根據函數的單調性即可求得實數a的取值范圍；
（2）這個證明題可以利用一個恒等式，sinx＜x，然后對$\sum_{k=1}^{n}$sin$\frac{1}{（k+1）^{2}}$，從第三項開始進行放縮，然后進行證明．

解答 解：（1）方法一：f（x）=lnx+asin（1-x），求導，f′（x）=$\frac{1}{x}$-acos（1-x），
由函數f（x）在區間（0，1）上為增函數，只要f′（x）≥0在區間（0，1）上恒成立，
∴$\frac{1}{x}$-acos（1-x）≥0，在區間（0，1）上恒成立，
∴a≤$\frac{1}{xcos（1-x）}$，
設h（x）=xcos（1-x），0＜1-x＜1，
∵h′（x）=cos（1-x）+xsin（1-x）＞0，
∴h（x）在（0，1）增函數，
∴h（x）＜h（1）=1，
∴a≤1，
實數a的取值范圍（-∞，1]；
方法二：f（x）=lnx+asin（1-x），求導，f′（x）=$\frac{1}{x}$-acos（1-x），
由函數f（x）在區間（0，1）上為增函數，只要f′（x）≥0在區間（0，1）上恒成立，即$\frac{1}{x}$-acos（1-x）≥0，在區間（0，1）上恒成立，
當a≤0時，f′（x）≥0恒成立，
當a＞0時，$\frac{1}{a}$≥xcos（1-x），
設g（x）=xcos（1-x），顯然g（x）在（0，1）單調遞增，
則g（x）＜g（1）=1，
∴$\frac{1}{a}$≥1，即0＜a≤1．
綜上可知：實數a的取值范圍（-∞，1]；
（2）證明：由（1）可知：當a=1時，f（x）=lnx+sin（1-x）在區間（0，1）上為增函數，
∴f（x）=lnx+sin（1-x）＜f（1）=0，即sin（1-x）＜ln$\frac{1}{x}$，
令1-x=$\frac{1}{（k+1）^{2}}$，則x=$\frac{k（k+2）}{（k+1）^{2}}$，
于是sin$\frac{1}{（k+1）^{2}}$＜ln$\frac{（k+1）^{2}}{k（k+2）}$，
∴$\sum_{k=1}^{n}$sin$\frac{1}{（k+1）^{2}}$＜ln$\frac{{2}^{2}}{1×3}$+ln$\frac{{3}^{2}}{2×4}$+…+ln$\frac{（n+1）^{2}}{n（n+2）}$，
=（2ln2-ln3）+（2ln3-ln2-ln4）+…+[2ln（n+1）-lnx-ln（n+2）]，
=ln2+ln（n+1）-ln（n+2），
=ln2+ln$\frac{n+1}{n+2}$＜ln2，
∴$\sum_{k=1}^{n}$sin$\frac{1}{（k+1）^{2}}$＜ln2．

點評 本題考查導數的綜合應用，常數分離法求參數的取值范圍，考查放縮法求不等式，主要利用sinx＜x進行證明，對數的運算，此題難度比較大，計算量比較大，屬于難題．