Question

19．4男3女站成一排，求滿足下列條件的排法共有多少種？
（1）任何兩名女生都不相鄰，有多少種排法？
（2）男甲不在首位，男乙不在末位，有多少種排法？
（3）男生甲、乙、丙順序一定，有多少種排法？
（4）男甲在男乙的左邊（不一定相鄰）有多少種不同的排法？

Answer 1

分析 （1）任何兩個女生都不得相鄰，利用插空法，問題得以解決，
（2）男甲不在首位，男乙不在末位，利用間接法，故問題得以解決，
（3）男生甲、乙、丙順序一定，利用定序法，問題得以解決．
（4）由于男甲要么在男乙的左邊，要么在男乙的右邊，故利用除法可得結論．

解答 解：（1）任何兩名女生都不相鄰，則把女生插空，所以先排男生再讓女生插到男生的空中，共有$A_4^4A_5^3=1440$種不同排法．
（2）甲在首位的共有$A_6^6$種，乙在末位的共有$A_6^6$種，甲在首位且乙在末位的有$A_5^5$種，因此共有$A_7^7-2A_6^6+A_5^5=3720$種排法．
（3）7人的所有排列方法有$A_7^7$種，其中甲、乙、丙的排序有A${\;}_{3}^{3}$種，其中只有一種符合題設要求，所以甲、乙、丙順序一定的排法有$\frac{A_7^7}{A_3^3}=840$種．
（4）男甲在男乙的左邊的7人排列與男甲在男乙的右邊的7人排列數相等，而7人排列數恰好是這二者之和，因此滿足條件的有$\frac{1}{2}$$A_7^7$=2520種排法．

點評 本題考查排列、組合知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，正確選用方法是關鍵．