Question

7．f（x）=x²-2x+alnx．
（Ⅰ）若a=2，求f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論f（x）的單調性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=2時，f（x）=x²-2x+2lnx，求出導函數，求出切線的斜率，切點坐標，然后求解切線方程．
（Ⅱ）求出導函數$f'（x）=2x-2+\frac{a}{x}=\frac{{2{x^2}-2x+a}}{x}$（x＞0），令h（x）=2x²-2x+a，通過△=4-8a，討論$a≥\frac{1}{2}$時，a＜$\frac{1}{2}$時，$0＜a＜\frac{1}{2}$時，a≤0時，導函數的符號，求解函數的單調區間即可．

解答 解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=x²-2x+2lnx，∴${f^'}（x）=2x-2+\frac{2}{x}$，
∴f'（1）=2，f（1）=-1，∴切線方程為y+1=2（x-1），即2x-y-3=0．
（Ⅱ）$f'（x）=2x-2+\frac{a}{x}=\frac{{2{x^2}-2x+a}}{x}$（x＞0），
令h（x）=2x²-2x+a，△=4-8a，當△≤0，即$a≥\frac{1}{2}$時，f'（x）≥0，此時f（x）在定義域內單調遞增；$當△＞0，即a＜\frac{1}{2}時，令h（x）=0，得{x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-2a}}}{2}，{x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-2a}}}{2}$．
當$0＜a＜\frac{1}{2}$時，0＜x＜x₁或x＞x₂時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；
x₁＜x＜x₂時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減；
當a≤0時，0＜x＜x₂時，f（x）單調遞減，x＞x₂時，f（x）單調遞增．
綜上所述：$a≥\frac{1}{2}$時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增；$0＜a＜\frac{1}{2}$時，f（x）在$（0，\frac{{1-\sqrt{1-2a}}}{2}）$，$（\frac{{1+\sqrt{1-2a}}}{2}，+∞）$上單調遞增，在$（\frac{{1-\sqrt{1-2a}}}{2}，\frac{{1+\sqrt{1-2a}}}{2}）$上單調遞增；
a≤0時，f（x）在$（0，\frac{{1+\sqrt{1-2a}}}{2}）$上單調遞減，在$（\frac{{1+\sqrt{1-2a}}}{2}，+∞）$上單調遞增．

點評 本題畫出函數的導數的應用，切線方程以及函數的單調區間的求法，考查分類討論思想以及轉化思想的應用，考查計算能力．