Question

3．設函數f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象如圖所示，且與y=0在原點相切，若函數的極小值為-4．
（1）求a，b，c的值；
（2）求函數的遞減區間．

Answer 1

分析 （1）函數在切點處的導數值為切線斜率，切點在切線上，列方程解；
（2）導函數大于0對應區間是單調遞增區間；導函數小于0對應區間是單調遞減區間．

解答 解：（1）由題意知f（0）=0
∴c=0
∴f（x）=x³+ax²+bx  f'（x）=3x²+2ax+b
又∵f'（x）=b=0
∴f'（x）=3x²+2ax=0
故極小值點為x=-$\frac{2a}{3}$，
∴f（-$\frac{2a}{3}$）=-4，∴${（-\frac{2}{3}a）}^{3}$+a${（-\frac{2}{3}a）}^{2}$=-4，
解得：a=-3；
（2）令f'（x）＜0  即：3x²-6x＜0，
解得：0＜x＜2，
∴函數的遞減區間為（0，2）．

點評 本題考查了導數的幾何意義及利用導數求函數的單調區間，要注意從圖象中得到有價值的結論，屬于基礎題．