Question

4．已知三棱柱ADE-BCF如圖所示，其中M，N分別是AF，BC的中點，且平面ABCD⊥底面ABEF，AB=AD=AE=BF=BC=2．
（1）求證：MN∥平面CDEF；
（2）求多面體A-CDEF的體積．

Answer 1

分析 （1）根據線面平行的判定定理進行證明即可．
（2）根據錐體的體積公式先求出錐體的底面積和高即可．

解答 （1）證明：由AB=BC=BF=2，DE=CF=2$\sqrt{2}$，∠CBF=$\frac{π}{2}$．
取BF的中點G，連接MG，NG，
由M，N分別為AF，BC的中點可得，
NG∥CF，MG∥EF，且NG∩MG=G，CF∩EF=F，
∴平面MNG∥平面CDEF，
又MN?平面MNG，
∴MN∥平面CDEF．-------------------------（6分）

（2）取DE的中點H．∵AD=AE，∴AH⊥DE，
在直三棱柱ADE-BCF中，平面ADE⊥平面CDEF，平面ADE∩平面CDEF=DE．
∴AH⊥平面CDEF．
∴多面體A-CDEF是以AH為高，以矩形CDEF為底面的棱錐，在△ADE中，AH=$\sqrt{2}$．
S_矩形CDEF=DE•EF=4$\sqrt{2}$，
∴棱錐A-CDEF的體積為V=$\frac{1}{3}$•S_矩形CDEF•AH=$\frac{1}{3}$×4$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{8}{3}$．----（12分）

點評 本題主要考查空間直線和平面平行的判定以及空間錐體的體積的計算，根據相應的判定定理和體積公式是解決本題的關鍵．