Question

9．已知函數f（x）=$\frac{6}{x-1}$，
（Ⅰ）判斷函數f（x）在（1，+∞）上的單調性并用單調性的定義證明；
（Ⅱ）x∈[2，4]，求函數f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據函數單調性的定義證明函數的單調性即可；（Ⅱ）根據函數的單調性求出函數的最大值和最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）函數f（x）在（1，+∞）上是減函數，證明如下：
設1＜x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{6{（x}_{2}{-x}_{1}）}{{（x}_{1}-1）{（x}_{2}-1）}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（1，+∞）遞減；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數f（x）在[2，4]上是減函數，
∴f（x）_min=f（4）=2，f（x）_max=f（2）=6．

點評 本題考查了通過定義證明函數的單調性以及求函數的最大值和最小值問題，是一道基礎題．