Question

3．幾位大學生響應國家的創業號召，開發了一款應用軟件．為激發大家學習數學的興趣，他們推出了“解數學題獲取軟件激活碼”的活動．這款軟件的激活碼為下面數學問題的答案：已知數列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項是2⁰，接下來的兩項是2⁰，2¹，再接下來的三項是2⁰，2¹，2²，依此類推．求滿足如下條件的最小整數N：N＞100且該數列的前N項和為2的整數冪．那么該款軟件的激活碼是（　�。�

• A． 440
• B． 330
• C． 220
• D． 110

Answer 1

分析 方法一：由數列的性質，求得數列{b_n}的通項公式及前n項和，可知當N為$\frac{n（n+1）}{2}$時（n∈N₊），數列{a_n}的前N項和為數列{b_n}的前n項和，即為2ⁿ⁺¹-n-2，容易得到N＞100時，n≥14，分別判斷，即可求得該款軟件的激活碼；
方法二：由題意求得數列的每一項，及前n項和S_n=2ⁿ⁺¹-2-n，及項數，由題意可知：2ⁿ⁺¹為2的整數冪．只需將-2-n消去即可，分別即可求得N的值．

解答 解：設該數列為{a_n}，設b_n=${a}_{\frac{（n-1）n}{2}+1}$+…+${a}_{\frac{n（n+1）}{2}}$=2ⁿ⁺¹-1，（n∈N₊），則$\sum_{i=1}^{n}_{i}$=$\sum_{i=1}^{\frac{n（n+1）}{2}}$a_i，
由題意可設數列{a_n}的前N項和為S_N，數列{b_n}的前n項和為T_n，則T_n=2¹-1+2²-1+…+2ⁿ⁺¹-1=2ⁿ⁺¹-n-2，
可知當N為$\frac{n（n+1）}{2}$時（n∈N₊），數列{a_n}的前N項和為數列{b_n}的前n項和，即為2ⁿ⁺¹-n-2，
容易得到N＞100時，n≥14，
A項，由$\frac{29×30}{2}$=435，440=435+5，可知S₄₄₀=T₂₉+b₅=2³⁰-29-2+2⁵-1=2³⁰，故A項符合題意．
B項，仿上可知$\frac{25×26}{2}$=325，可知S₃₃₀=T₂₅+b₅=2²⁶-25-2+2⁵-1=2²⁶+4，顯然不為2的整數冪，故B項不符合題意．
C項，仿上可知$\frac{20×21}{2}$=210，可知S₂₂₀=T₂₀+b₁₀=2²¹-20-2+2¹⁰-1=2²¹+2¹⁰-23，顯然不為2的整數冪，故C項不符合題意．
D項，仿上可知$\frac{14×15}{2}$=105，可知S₁₁₀=T₁₄+b₅=2¹⁵-14-2+2⁵-1=2¹⁵+15，顯然不為2的整數冪，故D項不符合題意．
故選A．
方法二：由題意可知：$\underset{\underbrace{{2}^{0}}}{第一項}$，$\frac{{2}^{0}，{2}^{1}}{第二項}$，$\frac{{2}^{0}，{2}^{1}，{2}^{2}}{第三項}$，…$\frac{{2}^{0}，{2}^{1}，{2}^{2}，…，{2}^{n-1}}{第n項}$，
根據等比數列前n項和公式，求得每項和分別為：2¹-1，2²-1，2³-1，…，2ⁿ-1，
每項含有的項數為：1，2，3，…，n，
總共的項數為N=1+2+3+…+n=$\frac{（1+n）n}{2}$，
所有項數的和為S_n：2¹-1+2²-1+2³-1+…+2ⁿ-1=（2¹+2²+2³+…+2ⁿ）-n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n=2ⁿ⁺¹-2-n，
由題意可知：2ⁿ⁺¹為2的整數冪．只需將-2-n消去即可，
則①1+2+（-2-n）=0，解得：n=1，總共有$\frac{（1+1）×1}{2}$+2=3，不滿足N＞100，
②1+2+4+（-2-n）=0，解得：n=5，總共有$\frac{（1+5）×5}{2}$+3=18，不滿足N＞100，
③1+2+4+8+（-2-n）=0，解得：n=13，總共有$\frac{（1+13）×13}{2}$+4=95，不滿足N＞100，
④1+2+4+8+16+（-2-n）=0，解得：n=29，總共有$\frac{（1+29）×29}{2}$+5=440，滿足N＞100，
∴該款軟件的激活碼440．
故選A．

點評 本題考查數列的應用，等差數列與等比數列的前n項和，考查計算能力，屬于難題．