Question

20．設a=$\int_0^π$（sinx+cosx）dx，則二項式（${\root{3}{x}$-$\frac{1}{{a\sqrt{x}}}}$）⁶的展開式中含x²項的系數1．

Answer 1

分析 利用微積分基本定理可得a，再利用二項式定理的通項公式即可得出．

解答 解：a=$\int_0^π$（sinx+cosx）dx=$（-cosx+sinx）{|}_{0}^{π}$=2，
則二項式（${\root{3}{x}$-$\frac{1}{{a\sqrt{x}}}}$）⁶即$（\root{3}{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}）^{6}$的通項公式為：T_r+1=${∁}_{6}^{r}$$（\root{3}{x}）^{6-r}$$（-\frac{1}{2\sqrt{x}}）^{r}$=$（-\frac{1}{2}）^{r}$${∁}_{6}^{r}$${x}^{2-\frac{5}{6}r}$．
令2-$\frac{5}{6}r$=2，解得r=0．
∴展開式中含x²項的系數是1．
故答案為：1．

點評 本題考查了微積分基本定理、二項式定理的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．