Question

9．已知函數f（x）=ax-1-lnx （a∈R）．
（Ⅰ） 討論函數f（x）在定義域內的極值點的個數；
（Ⅱ） 若a=1時，對于?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對f（x）求導，根據參數a討論函數的單調性，極值點的個數；
（2）對于?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立 等價轉化為：b≤$\frac{x-1-lnx+2}{x}$=1+$\frac{1-lnx}{x}$ 在x＞0上恒成立．

解答 解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），
（Ⅰ）  f'（x）=a-$\frac{1}{x}$=$\frac{ax-1}{x}$，
當a≤0時，f'（x）在x＞0上恒小于0，
f（x）在x＞0上單調遞減，此時f（x）沒有極值點．
當a＞0時，f'（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上為負，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上為正，f（x）在x=$\frac{1}{a}$處取得極小值，此時f（x）有一個極值點．
綜上知：當a≤0時，f（x）在定義域內的極值點的個數為0，
當a＞0時，在定義域內f（x）的極值點的個數為1．
（Ⅱ）a=1，f（x）=x-1-lnx，對于任意x＞0，f（x）≥bx-2恒成立，即為：
b≤$\frac{x-1-lnx+2}{x}$=1+$\frac{1-lnx}{x}$ 在x＞0上恒成立．
令g（x）=1+$\frac{1-lnx}{x}$，則g'（x）=0得：x=e²．
∴g（x）在（0，e²）上為減函數，在（e²，+∞）上為增函數，
則g（x）在x=e²時取得最小值為g（e²）=1-$\frac{1}{{e}^{2}}$，
∴b≤1-$\frac{1}{{e}^{2}}$．

點評 本題主要考查了利用導數求函數的單調性，函數的最值以及等價轉化問題，屬中等題．