Question

12．下列各函數中，最小值為2的是（　�。�

• A． $y=x+\frac{1}{x}$
• B． $y=sinx+\frac{1}{sinx}，x∈（0，\frac{π}{2}）$
• C． $y=\frac{{{x^2}+2}}{{\sqrt{{x^2}+1}}}$
• D． $y=x+\frac{2}{{\sqrt{x}}}-2$

Answer 1

分析 對于A、B、C選項可利用對勾函數的性質求解；D選項主要利用換元法求解；

解答 解：
A．y=x+$\frac{1}{x}$，當x＞0時，y≥2；當x＜0時，y＜-2．故無最小值，不合題意；
B．令 sinx=t，x∈（0，$\frac{π}{2}$），t∈（0，1）；
     則y=t+$\frac{1}{t}$，故y＜2，不合題意；
C．令 x²+1=t≥1，則y=$\frac{t+1}{\sqrt{t}}$=$\sqrt{t}+\frac{1}{\sqrt{t}}$≥2，符合題意；
D．y=$x+\frac{2}{\sqrt{x}}-2$，令$\frac{1}{\sqrt{x}}=t＞0$，$\sqrt{x}=\frac{1}{t}$
    則 y=$\frac{1}{{t}^{2}}+\frac{2}{t}-2$＞-2，故不符合題意；
故選：C．

點評 本題主要考查了基本不等式，對勾函數性質以及換元法求值域應用，屬常規題．