Question

11．已知α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），滿足tan（α+β）=4tanβ，則tanα的最大值為$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由已知利用兩角差的正切函數公式，基本不等式即可得解．

解答 解：tanα=tan[（α+β）-β]=$\frac{tan（α+β）-tanβ}{1+tan（α+β）•tanβ}$=$\frac{3tanβ}{1+4ta{n}^{2}β}$≤$\frac{3tanβ}{4tanβ}$=$\frac{3}{4}$，當且僅當tanβ=$\frac{1}{2}$時等號成立．
故答案為：$\frac{3}{4}$．

點評 本題主要考查了兩角差的正切函數公式，基本不等式在三角函數求值中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．