Question

11．設(shè)區(qū)間D=[-3，3]，定義在D上的函數(shù)f（x）=ax³+bx+1（a＞0，b∈R），集合A={a|?x∈D，f（x）≥0}．???
（1）若b=$\frac{1}{6}$，求集合A；
（2）設(shè)常數(shù)b＜0?
         ①討論f（x）的單調(diào)性；
         ②若b＜-1，求證：A=∅．??

Answer 1

分析 （1）把b=$\frac{1}{6}$代入函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，由f′（x）=$3a{x}^{2}+\frac{1}{6}$＞0，可知f（x）在[-3，3]上為增函數(shù)，求出函數(shù)的最小值，由最小值大于0求得a的取值范圍；
（2）①求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，解得導(dǎo)函數(shù)的零點，然后根據(jù)$\sqrt{-\frac{3a}}$與3的關(guān)系分類求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
②當(dāng)b＜-1時，由①可知，當(dāng)0＜a≤$-\frac{27}$時，f（x）在[-3，3]上單調(diào)遞減，求得函數(shù)的最小值小于0，這與?x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此時實數(shù)a不存在；
當(dāng)a＞-$\frac{27}$時，由①可得f（x）_min={f（-3），f（$\sqrt{-\frac{3a}}$）}，若f（-3）=-27a-3b+1＜0，這與?x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此時實數(shù)a不存在；若f（-3）=-27a-3b+1＞0，證明f（$\sqrt{-\frac{3a}}$）＜0，這與?x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此時實數(shù)a不存在．

解答 （1）解：當(dāng)b=$\frac{1}{6}$時，f（x）=$a{x}^{3}+\frac{1}{6}x+1$，f′（x）=$3a{x}^{2}+\frac{1}{6}$＞0，
∴f（x）在[-3，3]上為增函數(shù)，則$f（x）_{min}=f（-3）=-27a-\frac{1}{2}+1$=$\frac{1}{2}-27a$．
由$\frac{1}{2}-27a≥0$，解得a$≤\frac{1}{54}$．
∴A={a|?x∈D，f（x）≥0}=（0，$\frac{1}{54}$]；
（2）①解：f（x）=ax³+bx+1，f′（x）=3ax²+b，
∵a＞0，b＜0，
∴由f′（x）=3ax²+b=0，得${x}^{2}=-\frac{3a}$＞0，則x=$±\sqrt{-\frac{3a}}$．
若27a+b≤0，則$\sqrt{-\frac{3a}}≥3$，則f′（x）≤0在[-3，3]上恒成立，f（x）在[-3，3]上為減函數(shù)；
若27a+b＞0，則當(dāng)x∈[-3，$-\sqrt{-\frac{3a}}$）∪（$\sqrt{-\frac{3a}}$，3]時，f′（x）＞0，
當(dāng)x∈（$-\sqrt{-\frac{3a}}，\sqrt{-\frac{3a}}$）時，f′（x）＜0．
∴函數(shù)的增區(qū)間為[-3，$-\sqrt{-\frac{3a}}$），（$\sqrt{-\frac{3a}}$，3]，減區(qū)間為（$-\sqrt{-\frac{3a}}，\sqrt{-\frac{3a}}$）；
②證明：當(dāng)b＜-1時，由①可知，當(dāng)0＜a≤$-\frac{27}$時，f（x）在[-3，3]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（3）=27a+3b+1≤-b+3b+1=2b+1＜-1＜0，
這與?x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此時實數(shù)a不存在；
當(dāng)a＞-$\frac{27}$時，f（x）在[-3，$-\sqrt{-\frac{3a}}$），（$\sqrt{-\frac{3a}}$，3]上遞增，在（$-\sqrt{-\frac{3a}}，\sqrt{-\frac{3a}}$）上遞減，
∴f（x）_min={f（-3），f（$\sqrt{-\frac{3a}}$）}，
若f（-3）=-27a-3b+1＜0，這與?x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此時實數(shù)a不存在；
若f（-3）=-27a-3b+1＞0，令${x}_{1}=\sqrt{-\frac{3a}}$，此時f（x₁）=$a{{x}_{1}}^{3}+b{x}_{1}+1$．
又f′（x₁）=$3a{{x}_{1}}^{2}+b=0$，則$a{{x}_{1}}^{2}=-\frac{3}$．
f（x₁）=$a{{x}_{1}}^{3}+b{x}_{1}+1={x}_{1}（-\frac{3}）+b{x}_{1}+1$=$\frac{2b}{3}\sqrt{-\frac{3a}}+1=-\sqrt{-\frac{4^{3}}{27a}}+1$．
下面證明$-\sqrt{-\frac{4^{3}}{27a}}+1＜0$，也即證-4b³＞27a，
∵a＞-$\frac{27}$，且-27a-3b+1＞0，即27a＜-3b+1．
再證-4b³＞-3b+1，
令g（b）=4b³-3b+1，則g′（b）=12b²-3＞0（b＜-1），
∴g（b）在（-∞，-1]上單調(diào)遞增，則g（b）＜g（-1）=0．
即f（x₁）＜0，這與?x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此時實數(shù)a不存在．
綜上所述，A=∅．?

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法、邏輯思維能力、靈活變形能力及推理運(yùn)算能力，難度較大．