Question

已知函數f（x）=

-x2-4x，x≤0 lnx，x＞0

，若f（x）≤a|x|對任意實數x都成立，則實數a的最小值為

 

．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：按照分段函數y=f（x）的表達式，分x=0，x＜0與x＞0三類討論，分別求得a的最小值，取交即可．

解答： 解：若x=0，f（x）≤a|x|?0≤0對任意實數a都成立；
若x＜0，則f（x）≤a|x|?a≥

-x2-4x

|x|

=

-x2-4x

-x

=x+4，
由于x＜0時，x+4＜4，所以a≥4；
若x＞0，則f（x）≤a|x|?a≥

lnx

|x|

=

lnx

x

，
令h（x）=

lnx

x

（x＞0），則h′（x）=

1-lnx

x2

，
當0＜x＜e時，h′（x）＞0，
當x＞e時，h′（x）＜0，
所以，當x=e時，h（x）=

lnx

x

（x＞0）取得極大值，也是最大值，即h（x）_max=h（e）=

1

e

，
所以，a≥

1

e

．
綜上述，實數a的最小值為

1

e

．
故答案為：

1

e

．

點評：本題考查分段函數的應用，著重考查函數恒成立問題，考查分類討論與等價轉化思想，考查運算求解能力，屬于中檔題．