Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和圓O：x²+y²=a²+b²，橢圓C的左右焦點分別為F₁、F₂，過橢圓上一點P和原點O的直線交圓O于M、N兩點．若|PF₁|•|PF₂|=5，則|PM|•|PN|的值為（　　）

• A、1
• B、3
• C、5
• D、10

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設出P的坐標，把P的縱坐標用橫坐標表示，然后由焦半徑公式及|PF₁|•|PF₂|=5求得P的橫縱坐標的平方和，由對稱性得到|PM|•|PN|=a²+b²-|OM|²=a2+b2-x02-y02，代入橫縱坐標的平方和后整理得答案．

解答： 解：設P（x₀，y₀），
∵P在橢圓上，∴

x02

a2

+

y02

b2

=1，則y02=b2(1-

x02

a2

)=b2-

a2b2

c2

+

5b2

c2

，
∵|PF₁|•|PF₂|=5，∴（a+ex₀）（a-ex₀）=5，即x02=

a2-5

c2 a2

=

a4

c2

-

5a2

c2

．
由對稱性得|PM|•|PN|=a²+b²-|OM|²=a2+b2-x02-y02
=a2+b2-

a4

c2

+

5a2

c2

-b2+

a2b2

c2

-

5b2

c2

=a2-

a4

c2

+

5a2

c2

+

a2b2

c2

-

5b2

c2

=a2-

a2(a2-b2)

c2

+

5(a2-b2)

c2

=a2-a2+

5c2

c2

=5．
故選：C．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質，考查了焦半徑公式的應用，考查了計算能力，是中檔題．