Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左頂點A，下、上頂點B、C，右焦點F，AC與BF交于D，若|BF|=

1

3

|DF|，則橢圓的離心率等于（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、

  1

  3

• D、

  3

  3

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出A，B，C，F的坐標，求得直線AC，BF的方程，求得交點D的坐標，再由

BF

=

1

3

FD

，運用向量的坐標得到a，c的方程，解得a=2c，再由離心率公式，即可得到離心率．

解答： 解：由于A（-a，0），B（0，-b），C（0，b），F（c，0），
則有直線AC：

x

-a

+

y

b

=1，直線BF：

x

c

+

y

-b

=1，
聯立兩直線方程，解得，x=

2ac

a-c

，y=

a+c

a-c

，
即有D（

2ac

a-c

，

a+c

a-c

），
由于

BF

=

1

3

FD

，
則有c=

1

3

（

2ac

a-c

-c），
化簡可得，a=2c，
則離心率e=

c

a

=

1

2

．
故選A．

點評：本題考查橢圓的方程和性質，考查兩直線的交點，以及向量的共線問題，考查離心率公式的運用，考查運算能力，屬于基礎題．