Question

已知函數f（x）=x³+（a-1）x+1
（1）若f（x）在R上遞增，求a的取值范圍；
（2）若f（x）在（-1，1）上遞減，求a的取值范圍；
（3）若f（x）在（-1，1）上不單調，求a的取值范圍；
（4）若（-1，1）為f（x）的遞減區間，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的概念及應用

分析：（1）先求出函數的導數，得到a≥-3x²+1在x∈R時恒成立，從而求出a的范圍；
（2）由f′（x）≤0在（-1，1）上恒成立得到不等式，解出即可求出a的范圍；
（3）若f（x）在（-1，1）上不單調，則

f′(-1)＞0 f′(0)＜0 f′(1)＞0

，解出即可求出a的范圍；
（4）若（-1，1）為f（x）的遞減區間，則±1為f′（x）=3x²+a-1=0的兩根，解出即可求出a值．

解答： 解：∵f（x）=x³+（a-1）x+1，
∴f′（x）=3x²+a-1，
（1）若f（x）在R上遞增，則f′（x）≥0恒成立，
即a≥-3x²+1在x∈R時恒成立．
而-3x²+1≤1，
∴a≥1，
∴實數a的取值范圍是[1，+∞）．
（2）由條件f′（x）≤0，
  即a≤-3x²+1在x∈（-1，1）時恒成立．
∵x∈（-1，1）時，3x²∈[0，3），
∴只要a≤-2即可，
∴實數a的取值范圍是（-∞，-2]．
（3）若f（x）在（-1，1）上不單調，
則

f′(-1)＞0 f′(0)＜0 f′(1)＞0

，
即

a+2＞0 a-1＜0

，
解得：-2＜a＜1，
（4）若（-1，1）為f（x）的遞減區間，
則±1為f′（x）=3x²+a-1=0的兩根，
解得：a=-2．

點評：本題考察了函數的單調性，導數的應用，是一道基礎題．