Question

已知f（x）=

3

sin（π+x）•sin（

3π

2

-x）-cos²x，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若α∈[-

π

2

，0]，f（

1

2

α+

π

3

）=

1

10

，求sin（2α-

π

4

）的值．

Answer 1

考點：三角函數的周期性及其求法,三角函數的化簡求值,兩角和與差的正弦函數

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）首先把三角關系式通過恒等變換轉化成正弦型函數，進一步求出最小正周期．
（2）由（1）的結論，可由α∈[-

π

2

，0]，f（

1

2

α+

π

3

）=

1

10

，得cosα=

3

5

，sinα=-

4

5

，進而sin2α=-

24

25

，cos2α=-

7

25

，進而根據兩角差的正弦公式得到答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

sin（π+x）•sin（

3π

2

-x）-cos²x=

3

sinx•cosx-cos²x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-

1

2

=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，
∴ω=2，
∴T=

2π

ω

=π，
即f（x）的最小正周期為π；
（2）f（

1

2

α+

π

3

）=sin[2（

1

2

α+

π

3

）-

π

6

]-

1

2

=sin（α+

π

2

）-

1

2

=cosα-

1

2

=

1

10

，
∴cosα=

3

5

，
又∵α∈[-

π

2

，0]，
∴sinα=-

4

5

，
∴sin2α=-

24

25

，cos2α=-

7

25

，
∴sin（2α-

π

4

）=

2

2

[-

24

25

-（-

7

25

）]=-

17

50

2

點評：本題考查的知識點：三角函數的恒等變換，正弦型函數的最小正周期，三角函數求值及相關的運算問題．難度不大，屬于基礎題．