【題目】已知在幾何體中，四邊形
是邊長為
的正方形，且
平面，
，且
，
與平面所成角的正切值為
.
（1）求證：平面
平面
；
（2）求二面角
的大小.
【答案】（1）詳見解析；（2）
.
【解析】試題分析：(1) 取
的中點
，連接
，
,結合已知條件證得
平面
，由勾股定理得
，利用定理證得結果
以點
為原點，分別以
，
，
所在直線為
，
，
軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求平面
的法向量為
，求平面
的法向量為
，運用公式求出結果
解析：（1）取的中點，連接，，
∵
平面
，
，
∴
在平面內的射影為
，
∵
，又
，∴
，
∴四邊形
為平行四邊形，
∴
，
∴
為與平面所成的角.
∵
，
∴
，
，
∴
，設
，連接
，
.
∵
，
，
，
∴平面，
∵
平面，∴
.
∵
，
，
.
∴
，
∴，又
，
∴
平面
.
又∵平面
.∴平面
平面.
（2）∵，，兩兩垂直，以點為原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.
則
，
，
，
，
則
，
，
，
設平面的法向量為
，
則
即
取
，
得
.
設平面的法向量為
，
即
取
，得
.
設二面角
的平面角為
，
∵
，
∴
，即二面角的大小為
.
優生樂園系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，某污水處理廠要在一個矩形污水處理池(ABCD)的池底水平鋪設污水凈化管道(管道構成Rt△FHE，H是直角項點)來處理污水．管道越長，污水凈化效果越好．設計要求管道的接口H是AB的中點，E，F分別落在線段BC，AD上．已知AB＝20米，AD＝
米，記∠BHE＝
．
（1）試將污水凈化管道的長度L表示為的函數，并寫出定義域；
（2）當取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的長度L．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在
中，
，
分別為
，
的中點，
，如圖1.以
為折痕將
折起，使點
到達點
的位置，如圖2.
如圖1 如圖2
（1）證明：平面
平面
；
（2）若平面
平面
，求直線
與平面
所成角的正弦值。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列命題正確的是（ ）
A. 命題
的否定是：
B. 命題
中，若
，則
的否命題是真命題
C. 如果
為真命題，
為假命題，則
為真命題，
為假命題
D. 
是函數
的最小正周期為
的充分不必要條件
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（10分）四面體ABCD及其三視圖如圖所示，平行于棱AD，BC的平面分別交四面體的棱AB，BD，DC，CA于點E，F，G，H．
（1）求四面體ABCD的體積；
（2）證明：四邊形EFGH是矩形．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的焦點與雙曲線
的焦點重合，過橢圓
的右頂點
任意作直線
，交拋物線
于
，
兩點，且
，其中
為坐標原點.
（1）試求橢圓的方程；
（2）過橢圓的左焦點
作互相垂直的兩條直線，分別交橢圓于點
、
、
、
，試求四邊形
的面積
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本小題14分）
如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F分別為AD，PB的中點.
（Ⅰ）求證：PE⊥BC；
（Ⅱ）求證：平面PAB⊥平面PCD；
（Ⅲ）求證：EF∥平面PCD.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知定義在
上的函數
滿足以下三個條件：
①對任意實數
，都有
；
②
；
③在區間
上為增函數．
（1）判斷函數的奇偶性，并加以證明；
（2）求證：
；
（3）解不等式
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】柴靜《穹頂之下》的播出，讓大家對霧霾天氣的危害有了更進一步的認識，對于霧霾天氣的研究也漸漸活躍起來，某研究機構對春節燃放煙花爆竹的天數x與霧霾天數y進行統計分析，得出下表數據：
x | 4 | 5 | 7 | 8 |
y | 2 | 3 | 5 | 6 |
(1)請畫出上表數據的散點圖；
(2)請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出
關于
的線性回歸方程
；
(3)試根據(2)求出的線性回歸方程，預測燃放煙花爆竹的天數為
的霧霾天數．
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